老黄的高等数学基本上都是靠自学的，自学的教材是来自上海某928大学出版的《数学分析》教材。当老黄学到函数的凹凸性一节时，就被教材给搞迷糊了。因为按教材所给的定义，y=x^2应该是一个凸函数。但大家应该都知道，y=x^2明明就是一个凹函数，因为由它的二阶导数y"=1>0，就可以确定。没错，老黄这里想搞清楚的，就是函数凹凸性的概念。

(相关资料图)

当老黄第二次看到这个地方的时候，老黄又上网搜索了一下，结果发现，很多大平台上所给的概念，竟然和老黄自学的教材中所给概念是一致的。看来大家学的都是同一套教材啊。让老黄意想不到的是，网上那么多大神，竟然没有人指出来。想必大家都不敢轻易去质疑权威，那就让老黄这个“小鬼”充当这个大头鬼吧。若有不严密的地方，欢迎大家批评轻喷！

下面老黄直接给出老黄修改后的概念：

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1, x2和任意实数λ∈(0,1)，总有

f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2),

则称f为I上的凸函数(又称为上凸函数).(教材错为凹函数)

若f(λx1 (1-λ)x2)>λf(x1) (1-λ)f(x2), 则称f为I上的严格凸函数.

若f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2), 则称f为I上的凹函数(又称为下凸函数).(教材错为凹函数)

若f(λx1 (1-λ)x2)<λf(x1) (1-λ)f(x2), 则称f为I上的严格凹函数.

分析：这个概念理解起来的确是有难度的。而我们又有二阶导数判定凹凸性的方法，所以对难以理解的概念，肯定就没有那么重视，也就懒得去理解它了。

可以看到，不论是凸函数，还是凹函数，都可以称为凸函数，只是前者是上凸函数，后者是下凸函数。可能正因为如此，才会有很多人把两个概念给混淆了吧。甚至连928名校出的教材，都难免出错。

其实只要观察两者的图像，就可以发现其中的端倪：

如上图，(a)明显曲线是上凸的，教材却标明，这是凹函数的图像；(b)明显曲线是下凹的，教材却标明，这是凸函数的图像。

图中横坐标x=λx1 (1-λ)x2，它表示在(x1,x2)之间的任意点. A=f(x1), B=f(x2)，C=λA (1-λ)B=λf(x1) (1-λ)f(x2).

上面不等式左侧的式子表示，(x1,x2)之间的任意函数值；右侧的式子表示，同自变量x，在过A，B的直线上的函数值。因此，凹、凸函数的概念分别可以理解为：

当(x1,x2)间的任意函数值不小于同自变量x，在过A，B的直线上的函数值时，函数是凸的；当(x1,x2)间的任意函数值不大于同自变量x，在过A，B的直线上的函数值时，函数是凹的。

下面老黄要证明不等式右侧的式子表示的，就是同自变量x，在过A，B的直线上的函数值。将问题转化为数学语言如下：

设f为R上的一次函数，x1, x2是R上的任意两点，证明：对任意实数λ∈(0,1)总有

f(λx1 (1-λ)x2)=λf(x1) (1-λ)f(x2).

证明：设直线解析式为f(x)=kx b, 则

f(λx1 (1-λ)x2)=k(λx1 (1-λ)x2) b=λkx1 (1-λ)kx2 λb-λb b=λ(kx1 b) (1-λ)kx2 (1-λ)b

=λ(kx1 b) (1-λ)(kx2 b)=λf(x1) (1-λ)f(x2).

这也告诉了我们：一次函数既是凸函数也是凹函数，但都不严格。

最后，老黄利用定义分析f(x)=x^2的凹凸性。从而证明老黄所给的概念才是正确的。

解：在R上任取两个实数x1, x2, 并取λ∈(0,1)，则

当x1=0时, f(λx1 (1-λ)x2)=(1-λ)^2x2^2<(1-λ)x2^2=λf(x1) (1-λ)f(x2). 当x2=0时, 同理得证！

当x1x2≠0时,

f(λx1 (1-λ)x2)=(λx1 (1-λ)x2)^2=λ^2x1^2 (1-λ)^2x2^2 2λ(1-λ)x1x2,

若x1, x2异号, f(λx1 (1-λ)x2)<λx1^2 (1-λ)x2^2=λf(x1) (1-λ)f(x2).

若x1, x2同号,

f(λx1 (1-λ)x2)<(λ^2 λ-λ^2)x1^2 (1-2λ λ^2 λ-λ^2)x2^2

=λx1^2 (1-λ)x2^2=λf(x1) (1-λ)f(x2).

综上，f(x)=x^2是凹函数.

如果您觉得老黄说得对，衷心希望您能把这篇文章顶起来，实在不能让错误的数学概念，在到处大行其道了。当然，老黄还是要感谢该名校出版的这两册《数学分析》的教材的，因为它们让老黄学到了非常多的高等数学知识，谢谢了！

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